Wu, Hung-Hsi. Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. American Mathematical Society, 2011.

伍鸿熙这本讲解小学数学的书我前不久在《离谱的美国数学教育》一文中提到过，那时才刚刚开始读这本书，到现在读了一半，由于大宝才上二年级，书后半部分关于小学高年级的内容暂时用不上，倒也不急着看完。

此书最大的一个特点，在于把小学数学所有的内容公理化和系统化了，作者通过数学推导，把加减乘除各种运算的内在联系揭示出来，并修正了数学教材中常见的一些不严谨表述。

试举一例。在带余除法中，常见的表达方式是：

25 ÷ 6 = 4 ······ 1

在作者看来，这样的表达方式应该从教科书中清除出去，因为右边的 “4 ······ 1” 不是一个数，没有任何意义。作者说：

21 ÷ 5 = 4 ······ 1

两个等式的右边一模一样，以此推理，我们会得到 25 ÷ 6 = 21 ÷ 5。这是很荒谬的，所以带余除法不能用这种方式表达。正确的带余除法表示方式应该是：

25 = (4 × 6) + 1

作者没有提到但是我在辅导大宝的时候发现的一个让她困惑的问题是除数和余数的关系。比如说用13根小木棍摆正方形，我们可以摆3个正方形，余下1根小木棍，也可以摆2个正方形，余下5根小木棍。直接问13根小木棍可以摆多少个正方形是不严谨的，应该问“最多”能够摆多少个正方形。人教版的数学书中没有强调“最多”的概念，而只是在一个例子后提了一句：注意余数不能比除数大。按照伍鸿熙对于带余除法的探讨，“余数比除数小”这一概念应该放在带余除法的定义当中。只有这样才能消除歧义。

带余除法的严格定义需要引入符号语言，对于低年级的小朋友可能难以理解和接受，所以给小孩子讲解带余除法时强调“最多”的概念应是非常重要的。

对于是否应该给小学生引入符号语言，伍鸿熙比较乐观，他写道：“Let it be said explicitly that, indeed, elementary school students must begin to learn to use symbols……Children’s capacity for abstraction is larger than what most people realize, and this fact is further confirmed by the curricula in other developed nations such as Russia.”（明确地说，小学生必须开始学会使用符号······儿童的抽象能力比大多数人认为的要好，这一事实已被其他发达国家如俄罗斯的课程所证实。）

具体何时引入抽象的概念，伍鸿熙的建议是五年级，一是对分数的系统处理需要抽象能力；二是马上要为学习代数做准备。

我想的是，五年级之后就可以给大宝推荐这本书了。

书中还有一些其他很有启发的论点我不一一赘述。本书出版的目的是伍鸿熙深感美国数学教育的不足，决定给数学老师补补课。书中一直强调的是精确的定义以及逻辑推理，这是学好数学的基本条件。不过此书出版之后的这十多年来美国的数学教育似乎也没什么起色。不同于中国的情况，美国的小学老师不是专科老师，也就是不分数学老师语文老师等，而是一个老师全包，并且也没有专科的教研室。我猜想，对于美国大多数的小学老师而言，要读完并理解这本书恐有难度，更遑论将此书的思想应用于课堂上。

从另一方面看，此书当可以作为教学活动的一个参考书，但没有这本书也不见得就教不好，毕竟小学生需要掌握的也就是一些基本运算法则，逻辑严密的推导在给小学生的教学实践中应该也不好展开。美国数学教育的真正问题，在于要求太低，练习太少，这不是这本书能够解决的。